Математиката получава стигма страшно за учениците, въпреки че колкото повече научавате и практикувате математика, толкова по-забавно и приятно ще бъде. добре, сега ще ви поканим да научите повече за математическата индукция. Какво е математическа индукция и за какво се използва?
Самата математическа индукция може да се тълкува като доказателна техника в математиката. Използва се за доказване на специални твърдения, съдържащи естествени числа. Доказателството, използващо този метод, води до общи заключения.
Въведение в математическата индукция
При доказване с помощта на математическа индукция се получават общи заключения. Има два вида разсъждения, използвани за получаване на заключения, а именно дедуктивно разсъждение и индуктивно разсъждение.
- Дедуктивното разсъждение е разсъждение, което започва от общи твърдения до конкретни твърдения. Този подход се нарича „общо-специфичен“ подход, тъй като разсъжденията започват с общото и след това завършват с конкретни неща. Пример; всички ябълки са плодове, всички плодове растат на дървета, така че всички ябълки растат на дървета.
- Индуктивното разсъждение е разсъждение, което започва от конкретни твърдения до общи твърдения. Този подход се нарича „общо-специфичен“ подход, тъй като изявленията са съставени от конкретни точки, за да се стигне до общоприети заключения. Пример; Пътник в автобуса отбелязва, че всеки път, когато водачът на автобуса настъпи педала на спирачката, всички пътници в автобуса ще бъдат изтласкани напред.
(Прочетете също: Трансформация в математиката, като какво?)
Освен това методът на математическа индукция може да се използва за доказване на истинността на специална хипотеза, така че да бъде общоприет. Така че този метод се използва в доказателство при индуктивни разсъждения.
Приложение на математическата индукция
Приложението на математическата индукция може да се намери в различни клонове на математиката. Хипотезите, подредени в математиката, трябва да бъдат доказани, за да бъдат общоприети. Хипотезата обикновено е валидна, ако се окаже вярна за всички използвани числови стойности. Ето пример за изявление, което може да бъде доказано по този начин.
Докажете, че сумата от поредицата от нечетни числа е n2. Където n е естествено число.
Селище: Pн= 1 + 3 + 5 + 7 + ... .. + (2n - 1) = n2 се прилага за всеки n € A
Основната стъпка: при n = 1 получаваме, че P1 = 1 = 12 е вярно.
Индукционна стъпка: да предположим, че n = k, Pк истинска стойност. Ще бъде показано, че за n = k + 1, P(k + 1) = (k + 1) 2 е вярно.
Обърнете внимание на следните стъпки:
За n = k, тогава Pк = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k2 е вярно.
Като добавите [2 (k + 1) -1] към двете страни, тогава
P(k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (доказано)
Принципи на математическата индукция
Нека P (n) е твърдение, съдържащо естествени числа. Изразът P (n) може да бъде доказано верен за всички естествени числа n, като следвате стъпките на математическата индукция.
Следват стъпките за доказване с помощта на този метод:
- Докажете, че P (1) е вярно или P (n) е вярно за n = 1.
- Ако P (k) е вярно, тогава покажете P (k + 1) е вярно за всяко положително цяло число k.
Ако стъпки (1) и (2) са верни, може да се заключи, че P (n) е вярно за всяко естествено число n. Стъпка 1 се нарича основна стъпка, докато стъпка 2 се нарича стъпка на индукция.
